W pierwszej części poznaliśmy słownictwo dotyczące figur i brył, jako wstęp do opowiadania o najpiękniejszych bryłach, wielościanach foremnych, które z racji swojego piękna i regularności zwiemy bryłami platońskimi.
Sześcian – jako najpopularniejsza bryła – rozpoczął naszą przygodę z wielościanami foremnymi. Kliknij w link, aby przejść do artykułu o sześcianie.
Dzisiaj zbudujmy najmniejszą bryłę platońską – czyli wielościan foremny, który odznacza się harmonią i pięknem. O ile najpopularniejszą bryłą foremną jest sześcian, czyli kostka (ang. cube), to najmniejszy wielościan foremny ma tylko cztery ściany. Z tego powodu nazywamy go czworościanem. Spełnia on trzy podstawowe warunki, jakie musi spełniać każdy wielościan foremny.
- Każda ściana jest takim samym (przystającym) wielokątem foremnym – w szczególności ściany są trójkątami równobocznymi – taki trójkąt ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Kąty w trójkącie równobocznym mają po 60 stopni.
- W każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba ścian: trzy ściany. Dodatkowo w każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba krawędzi: również trzy.
- Czworościan foremny jest bryłą wypukłą, czyli nie jest zapadnięty.
Ponieważ po łacinie TETRA oznacza 4, to czworościan nazywamy po grecku TETRAEDR, a po angielsku TETRAHEDRON.
Kolorowy dwunastościan
Jeśli ściany czworościanu foremnego pomalujemy czterema różnymi kolorami i będziemy toczyli model po płaszczyźnie (zanim farba wyschnie), to otrzymamy parkietaż. Godny uwagi jest fakt, że tocząc czworościan tam i z powrotem w dowolny sposób, nigdy nie uzyskamy nałożenia się różnych kolorów.
Ognisty czworościan
Bryły platońskie poruszały wyobraźnię myślicieli i filozofów od czasów starożytnych. Platon przyjmował, że przyroda składa się z czterech żywiołów: ognia, ziemi, powietrza i wody. Ogień reprezentował czworościan, ziemię – sześcian, a powietrze i wodę kolejne dwie bryły platońskie (wielościany foremne).
Czworościan reprezentował ogień ze względu na swój kształt.
Opis układu słonecznego przy pomocy brył platońskich
W XVII wieku Kepler opisał układ słoneczny i trajektorie planet przy pomocy wielościanów.
Wyobraź sobie orbitę Marsa. Zbuduj na niej sferę (popularnie powiedzielibyśmy kulę). Jeśli na tej kuli opiszesz (prościej – nałożysz) czworościan, a na nim opiszesz kolejną sferę, to wyznaczy ona orbitę Jowisza. Jeśli na sferze o promieniu orbity Jowisza opiszesz sześcian, a na nim kolejną sferę, to wyznaczy ona orbitę Saturna.
O pozostałych planetach i wielościanach opowiem w następnych częściach tego artykułu. Wspomniany opis modelu kosmologicznego był pierwszym z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet. Odkryta prawidłowość utwierdziła go w przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.
Ciekawostki o czworościanie
Czworościan jest jedynym wielokątem foremnym, który nie posiada równoległych ścian. W sześcianie ściany są równoległe parami, a pozostałe bryły platońskie zbudujemy w kolejnych dniach.
Czworościan również jako jedyny, ma piękną właściwość: wszystkie cztery wierzchołki są położone w takiej samej odległości od siebie.
Zagadka o czworościanie
Zagadka 1
Połóż palec na jednym z wierzchołków. Idąc od wierzchołka do wierzchołka, należy obejść wszystkie jego krawędzie:
- nie odrywając palca,
- każdą krawędź należy przejść dokładnie dwa razy, w różnych kierunkach,
- na koniec trzeba dotrzeć do punktu startu.
Zagadkę tę można wykonać na papierze lub w trójwymiarze.
Dorosłym proponuję zacząć od rysowania ołówkiem po papierze, ale dzieciom proszę dać prawdziwy czworościan. My dorośli przez lata byliśmy trenowani, aby wszelkie zadania trójwymiarowe rysować na kartce. Dla dzieci ta koncepcja będzie trudna. Poza tym kształćmy od najmłodszych lat rozumienie brył w prawdziwej przestrzeni trójwymiarowej.
Podpowiedź:
1, 2, 3…, 1
Zaczynamy od 1 i kończymy na 1. Na każdym wierzchołku stajemy dwukrotnie, – prócz 1, która z racji bycia początkiem i końcem całości pojawi się trzy razy. W ten sposób w powyższym ciągu będzie 13 liczb.
Zagadka 2
Wyobraź sobie, że przecinasz czworościan. W przekroju otrzymasz… zazwyczaj trójkąt. Ale czy tylko? Czy można przeciąć czworościan tak, aby otrzymać inną figurę? Jeśli tak, to jaka to będzie figura?
Rozwiązania przedstawię w jednym z kolejnych artykułów o matematycznych zabawach bryłami.
Matematyczne kryształy
Czworościenna jest struktura krzemianów – najliczniejszych przedstawicieli minerałów. Krzemiany – sole kwasu siarkowego – stanowią ponad 90% skał tworzących skorupę ziemską.
Pozostałe 10% to różne tlenki (4%) oraz węglany (3%).
Skalenie stanowią 60% krzemianów, kwarce – 12%,oliwiny, pirokseny i amfibole to 15%, a miki 3%.
Atom krzemianu zbudowane są z jednego małego atomu krzemu i czterech dużych atomów tlenu, tworząc grupę SiO4. Atomy tlenu są w tej samej odległości od atomu krzemu.
Co ma wspólnego gaz ziemny z czworościanem foremnym?
Podobną budowę ma atom metanu CH4, który stanowi 90% gazu ziemnego.
Metan zwany jest także gazem błotnym. Jest to najprostszy węglowodór nasycony (alkan). W temperaturze pokojowej jest bezwonny i bezbarwny. Jest stosowany jako gaz opałowy i jako surowiec do produkcji tworzyw sztucznych.
Proponowane szkolenie